Question

如圖，AE切⊙O于點E，AT交⊙O于點M，N，線段OE交AT于點C，OB⊥AT于點B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．
（1）求∠COB的度數；
（2）求⊙O的半徑R；
（3）點F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC經過平移、旋轉和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點E，F重合．在EF的同一側，這樣的三角形共有多少個？你能在其中找出另一個頂點在⊙O上的三角形嗎？請在圖中畫出這個三角形，并求出這個三角形與△OBC的周長之比．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AE與圓O相切，根據切線的性質得到AE與CE垂直，又OB與AT垂直，可得出兩直角相等，再由一對對頂角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形AEC與三角形OBC相似，根據相似三角形的對應角相等可得出所求的角與∠A相等，由∠A的度數即可求出所求角的度數；
（2）在直角三角形AEC中，由AE及tanA的值，利用銳角三角函數定義求出CE的長，再由OB垂直于MN，由垂徑定理得到B為MN的中點，根據MN的長求出MB的長，在直角三角形OBM中，由半徑OM=R，及MB的長，利用勾股定理表示出OB的長，在直角三角形OBC中，由表示出OB及cos30°的值，利用銳角三角函數定義表示出OC，用OE-OC=EC列出關于R的方程，求出方程的解得到半徑R的值；
（3）把△OBC經過平移、旋轉和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點E，F重合，在EF的同一側，這樣的三角形共有3個．延長EO與圓交于點D，連接DF，如圖所示，由第二問求出半徑，的長直徑ED的長，根據ED為直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到三角形EFD為直角三角形，由∠FDE為30°，利用銳角三角函數定義求出DF的長，表示出三角形EFD的周長，再由第二問求出的三角形OBC的三邊表示出三角形BOC的周長，即可求出兩三角形的周長之比．
解答：解：（1）∵AE切⊙O于點E，
∴AE⊥CE，又OB⊥AT，
∴∠AEC=∠CBO=90°，
又∠BCO=∠ACE，
∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°，
∴∠COB=∠A=30°；

（2）∵AE=3，∠A=30°，
∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=，即EC=AEtan30°=3，
∵OB⊥MN，∴B為MN的中點，又MN=2，
∴MB=MN=，
連接OM，在△MOB中，OM=R，MB=，
∴OB==，
在△COB中，∠BOC=30°，
∵cos∠BOC=cos30°==，
∴BO=OC，
∴OC=OB=，
又OC+EC=OM=R，
∴R=+3，
整理得：R²+18R-115=0，即（R+23）（R-5）=0，
解得：R=-23（舍去）或R=5，
則R=5；

（3）在EF同一側，△COB經過平移、旋轉和相似變換后，這樣的三角形有6個，
畫直徑FG，連接EG，延長EO與圓交于點D，連接DF，如圖所示：

∵EF=5，直徑ED=10，可得出∠FDE=30°，
∴FD=5，
則C_△EFD=5+10+5=15+5，
由（2）可得C_△COB=3+，
∴C_△EFD：C_△COB=（15+5）：（3+）=5：1．
∵EF=5，直徑FG=10，可得出∠FGE=30°，
∴EG=5，
則C_△EFG=5+10+5=15+5，
∴C_△EFG：C_△COB=（15+5）：（3+）=5：1．
點評：此題考查了切線的性質，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質，含30°直角三角形的性質，平移及旋轉的性質，以及銳角三角函數定義，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．