Question

5．如圖所示，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分線交BC于D．若AB=6cm，AC=4cm，則AD的長為$\frac{12\sqrt{3}}{5}$cm．

Answer 1

分析 作輔助線，構建平行線和垂線，先根據外角定理和角平分線性質得：∠BAD=∠N，由等角對等邊得：BN=AB=6，由三角函數求AE的長，根據等腰三角形三線合一得AN的長，證明△BND∽△CAD，根據線段的長設未知數列等式可得結論．

解答 解：過B作BM∥AC，交AD的延長線于點N，作BE⊥AN于E，
∵BM∥AC，
∴∠MBA=∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴∠N=∠MBA-∠BAD=60°-30°=30°
∴∠BAD=∠N，
∴BN=AB=6，
在Rt△ABE中，
AE=AB•cos∠BAD=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴AN=2AE=6$\sqrt{3}$，
∵BM∥AC，
∴△BND∽△CAD，
∴$\frac{AD}{DN}=\frac{AC}{BN}$=$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，
設AD=2x，則DN=3x，
而AD+DN=AN，
∴2x+3x=6$\sqrt{3}$，
x=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，
∴AD=$\frac{12\sqrt{3}}{5}$cm．
故答案為：$\frac{12\sqrt{3}}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的性質和判定，把求線段的長的問題轉化為求三角形相似的問題解決，正確作出輔助線是解題的關鍵．