Question

已知關于x的方程m²x²+（2m+3）x+1=0①的兩實根的乘積等于1．
（1）求證：關于x的方程（k-2）x²-2（k-m）x+（k+m）=0（k≤3）方程②有實數根；
（2）當方程②的兩根的平方和等于兩根積的2倍時，它的兩個根恰為△ABC的兩邊長，若△ABC的三邊都是整數，試判斷它的形狀．

Answer 1

證明：（1）∵方程①兩實根乘積等于1，
∴，
經檢驗m=±1是方程的根．
當m=1時，x²+5x+1=0，符合題意．
m=-1時，x²+x+1=0，△=1-4＜0．
∴m=-1舍去，
∴m=1．
把m=1代入方程②，得（k-2）x²-2（k-1）x+（k+1）=0（k≤3）．
當k=2時，方程②為一元一次方程，，有實根；
當k≤3且k≠2時，方程②為一元二次方程，（k-2）x²-2（k-1）x+k+1=0，
∵△=[-2（k-1）]²-4（k-2）（k+1）=4（k-1）²-4（k-2）（k+1）=4（k²-2k+1）-4（k²-k-2）=-4k+12，
又∵k≤3，
∴-4k≥-12，
∴-4k+12≥0，
∴方程②有實根．
綜上，可知關于x的方程（k-2）x²-2（k-m）x+（k+m）=0（k≤3）有實數根；
（2）設x₁、x₂是方程②的兩根，由題意，得
x₁²+x₂²=2x₁x₂①，x₁+x₂=②，x₁•x₂=③，
由①得x₁²+x₂²-2x₁x₂=0，
∴（x₁-x₂）²=0，
∴x₁=x₂④．
把④式代入②，得2x₁=，∴x₁=，
把④式代入③，得x₁²=，
∴，
∴k=3．
當k=3時，x₁=x₂=2．
∵△ABC三邊均為整數，
∴設第三邊為n，則2-2＜n＜2+2，
∴0＜n＜4．
∵n是整數，
∴n=1，2，3．
當n=2時，△ABC為等邊三角形．
當n=1或3時，△ABC為等腰三角形，其中n=1時，是等腰銳角三角形；n=3時，是等腰鈍角三角形．
分析：（1）因為關于x的方程m²x²+（2m+3）x+1=0有兩個兩實根，所以它是一元二次方程，根據一元二次方程的定義得出m≠0，又因為此二實根的乘積等于1，由根與系數的關系得出=1，解這個分式方程，求出m的值，再代入方程①檢驗，確定m的值，然后把m的值代入方程②，證明方程②中的判別式△≥0即可；
（2）設x₁、x₂是方程②的兩根，由已知條件兩根的平方和等于兩根積的2倍得出x₁²+x₂²=2x₁x₂①，由根與系數的關系得出x₁+x₂=②，x₁•x₂=③．變形①式，可得x₁=x₂④，把④式分別代入②③，建立關于k的方程，求出k的值，再由三角形三邊關系定理及已知條件確定第三邊的長度，進而判斷三角形的形狀．
點評：本題主要考查了一元二次方程的定義，根與系數的關系，一元一次方程、分式方程的解法，三角形三邊關系定理及三角形的分類，綜合性較強，難度中等．