Question

已知：⊙O的半徑OA=5，弦AB=8，C是弦AB的中點，點P是射線AO上一點（與點A不重合），直線PC與射線BO交于點D．
（1）當點P在⊙O上，求OD的長．
（2）若點P在AO的延長線上，設OP=x，，求y與x的函數關系式并寫出自變量x的取值范圍．
（3）連接CO，若△PCO與△PCA相似，求此時BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BP，根據C是AB的中點，O是AP的中點，判斷出點D是△ABP的重心，然后根據三角形的重心到頂點的距離等于對邊中點的距離的2倍解答即可；
（2）過點O作OE∥AB，交PC于點E，根據平行線分線段成比例定理表示出、，再根據點C是AB的中點整理即可得解；
（3）①當P在AO延長線上時，根據相似三角形對應角相等可得∠PCO=∠A，然后求出∠PCO=∠ABO，再根據等腰三角形三線合一的性質可得OC⊥AB，然后求出∠AOC=∠BCD，再求出△ACO和△BDC相似，然后根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可；②P在AO上時，根據△PCO與△PCA相似先判定出CP⊥AO，利用相似三角形對應邊成比例列式求出PO，過點B作BH⊥AO于H，再求出OH，然后利用相似三角形對應邊成比例列式求出OD，再根據BD=OB+OD代入數據計算即可得解．
解答：解：（1）當P在⊙O上時，連接BP，
∵C是AB中點，O是AP中點，
∴點D為△ABP的重心，
∴OD=OB，
∵OA=OB=5，
∴OD=×5=；

（2）如圖，過點O作OE∥AB，交PC于點E，
∵OE∥AB，
∴=，=，
又∵AC=BC，
∴=，
即y=（x＞0）；

（3）①如圖1，當P在AO延長線上時，
∵△PCO∽△PAC，
∴∠PCO=∠A，
∵∠A=∠ABO，
∴∠PCO=∠ABO，
∵OA=OB，點C是AB的中點，
∴OC⊥AB，
∴∠PCO+∠BCD=90°，
又∵∠A+∠AOC=90°，
∴∠BCD=∠AOC，
∴△ACO∽△BDC，
∴=，
即=，
∴BD=；
②如圖2，當P在AO上時，∵△PCO∽△PAC，
∴∠PCO=∠A，
∴∠A+∠ACP=∠PCO+∠ACP=90°，
∴CP⊥AO，
∴△ACP∽△AOC，
∴=，
∵AB=8，C是AB的中點，
∴AC=×8=4，
∴=，
解得AP=，
∴PO=AO-AP=5-=，
過點B作BH⊥AO于H，則OH=PH-OP=AP-OP=-=，
∵CP⊥AO，BH⊥AO，
∴PD∥BH，
∴=，
即=，
∴OD=，
∴BD=OB+OD=5+=，
綜上所述，若△PCO與△PCA相似，此時BD的長為或．
點評：本題是圓的綜合題型，主要考查了三角形的重心性質，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質，（1）需要熟記三角形的重心到頂點的距離等于對邊中點的距離的2倍，（2）作輔助線利用=起到中間過渡是解題的關鍵，（3）難點在于要分情況討論．