Question

已知：⊙O的半徑OA=5，弦AB=8，C是弦AB的中點，點P是射線AO上一點（與點A不重合），直線PC與射線BO交于點D.

（1）當點P在⊙O上，求OD的長.

（2）若點P在AO的延長線上，設OP=x，，求y與x的函數關系式并寫出自變量x 的取值范圍。

（3）連接CO，若△PCO與△PCA相似，求此時BD的長。

 

 

Answer 1

【答案】

解：當P在⊙O上時，連接BP       

     ∵ C是AB中點，O是AP中點，

∴ 點D為△ABP的重心，  ∴ 

∵ OA=OB=5   ∴  

（2）過點O作OE//AB，交PC于點E（如圖） 

∵OE//AB  ∴，      

又∵ AC=BC   ∴ 

即  (x>0) 

(3) 當P在AO延長線上時，若△PCO∽△PAC時，有∠PCO=∠A，

∵∠A=∠B，∴∠PCO=∠B， 易證△ACO∽△BDC

得     得    ∴ 

當P在AO上時，若△PCO∽△PAC時，可得CP⊥AO（如圖）

作BH⊥AO，可求得   ，

由， 得      ∴

則 

綜上所述，若△PCO與△PCA相似，此時BD的長為或

【解析】（1）連接BP，由兩個中點得出點D是重心，可以得到；

       （2）過點O作OE//AB，由三角形中線段的相似比找出y與x的函數關系式；

       （3）考慮兩種情況：點P在AO延長線上或者點P在AO上。