Question

我市某游樂場投資150萬元引進一項大型游樂設施．若不計維修保養費用，預計開放后每月可創收35萬元．而該游樂設施開放后，從第1個月到第x個月的維修保養費用累計為y（萬元），且y=ax²+bx；若將創收扣除投資和維修保養費用稱為游樂場的純收益g（萬元），g也是關于x的解析式；
（1）若維修保養費用第1個月為2萬元，第2個月累計為6萬元．求y關于x的解析式；
（2）求純收益g關于x的解析式；
（3）問設施開放幾個月后，游樂場的純收益達到最大？并求出該游樂場的最大純收益．

Answer 1

【答案】分析：（1）將x與y的值代入y=ax²+bx建立二元一次方程組求出其解即可；
（2）純收益g=x個月的總利潤-總投資150萬-x個月的維修保養費用，化簡即可求的g關于x的解析式；
（3）先用配方法把解析式化為頂點式，求得頂點坐標即可知其最大值問題；只有當g＞0時，才能回收投資，所以可根據二次函數g＞0時對應的x值來確定其在第6個月可回收投資．
解答：解：（1）由題意得：x=1時y=2；
x=2時，y=6代入得：

解之得：
．
∴y=x²+x；

（2）由題意得：
g=35x-150-（x²+x）
g=-x²+34x-150；

（3）∵g=-x²+34x-150；
∴g=-x²+34x-150=-（x-17）²+139，
∴a=-1＜0，拋物線開口向下，g有最大值．
∴當x=17時，g最大值=139，
點評：本題考查了用待定系數法求二次函數解析式及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．