Question

杭州體博會期間，嘉年華游樂場投資150萬元引進一項大型游樂設施，若不計維修保養費用，預計開放后每月可創收33萬元，而該游樂設施開放后，從第1個月到第x個月的維修保養費用累計為y（單位：萬元），且y=ax²+bx，若維修保養費用第1個月為2萬元，第2個月為4萬元；若將創收扣除投資和維修保養費用稱為游樂場的純收益g（單位：萬元），g也是關于x的二次函數．
（1）y關于x的解析式

 

；
（2）純收益g關于x的解析式

 

；
（3）設施開放

 

個月后，游樂場純收益達到最大？

 

個月后，能收回投資？

Answer 1

分析：（1）分別把x=1，y=2；x=2，y=6代入解析式用待定系數法求解即可；
（2）純收益g=x個月的總利潤-總投資150萬-x個月的維修保養費用，化簡即可求的g關于x的解析式；
（3）先用配方法把解析式化為頂點式，求得頂點坐標即可知其最大值問題；只有當g＞0時，才能回收投資，所以可根據二次函數g＞0時對應的x值來確定其在第6個月可回收投資．

解答：解：（1）根據題意可知
當x=1時，y=2，
當x=2時，y=6，
所以

a+b=2 4a+2b=6

，
解得

a=1 b=1

，
∴y=x²+x；

（2）純收益g=33x-150-（x²+x），
=-x²+32x-150；

（3）g=-x²+32x-150=-（x-16）²+106，
即設施開放16個月后游樂場的純收益達到最大．
又在0＜x≤16時，g隨x的增大而增大，
當x≤5時，g＜0；
而當x=6時，g＞0，
所以6個月后能收回投資．

點評：主要考查了利用二次函數的模型解決實際問題．先根據題意求出二次函數的解析式是解題的關鍵．求最值問題可利用拋物線的頂點坐標解決．