Question

杭州體博會期間，嘉年華游樂場投資150萬元引進一項大型游樂設施，若不計維修保養費用，預計開放后每月可創收33萬元，而該游樂設施開放后，從第1個月到第x個月的維修保養費用累計為y（單位：萬元），且y=ax²+bx，若維修保養費用第1個月為2萬元，第2個月為4萬元；若將創收扣除投資和維修保養費用稱為游樂場的純收益g（單位：萬元），g也是關于x的二次函數．
（1）y關于x的解析式______；
（2）純收益g關于x的解析式______；
（3）設施開放______個月后，游樂場純收益達到最大？______個月后，能收回投資？

Answer 1

（1）根據題意可知
當x=1時，y=2，
當x=2時，y=6，
所以

a+b=2 4a+2b=6

，
解得

a=1 b=1

，
∴y=x²+x；

（2）純收益g=33x-150-（x²+x），
=-x²+32x-150；

（3）g=-x²+32x-150=-（x-16）²+106，
即設施開放16個月后游樂場的純收益達到最大．
又在0＜x≤16時，g隨x的增大而增大，
當x≤5時，g＜0；
而當x=6時，g＞0，
所以6個月后能收回投資．