Question

已知x₁，x₂是一元二次方程x²+2（m-1）x+3m²-11=0的兩個實數根．
（1）m取什么實數時，方程有兩個相等的實數根；
（2）是否存在實數m，使方程的兩根x₁，x₂滿足

x2

x1

+

x1

x2

=-1？若存在，求出方程的兩根；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據一元二次方程x²+2（m-1）x+3m²-11=0的兩個實數根得出，△=b²-4ac=0，進而求出m即可；
（2）根據根與系數的關系得出m的值即可．

解答：解：∵a=1，b=2（m-1），c=3m²-11，
∴△=b²-4ac=[2（m-1）]²-4×1×（3m²-11）=-8m²-8m+48，
當△=0時，∴0=-8m²-8m+48，
解得：m₁=-3，m₂=2；

（2）假設存在m，則由題意得出：

x1+x2=-2(m-1) x1x2=3m2-11

，
又

x2

x1

+

x1

x2

=-1，
即

x 2 1 + x 2 2

x1x2

=

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

=

[-2(m-1)]2-2(3m2-11)

3m2-11

=-1，
則[2（m-1）]²=3m²-11，
解得：m=3或m=5；
經檢驗得出：當m=3或m=5時，△＜0方程無解，
所以實數m不存在．

點評：此題主要考查了根的判別式以及根與系數的關系，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根．