Question

等邊△ABC邊長為6，P為BC邊上一點，∠MPN=60°，且PM、PN分別于邊AB、AC交于點E、F.（1）如圖1，當點P為BC的三等分點，且PE⊥AB時，判斷△EPF的形狀；

（2）如圖2，若點P在BC邊上運動，且保持PE⊥AB，設BP=x，四邊形AEPF面積的y，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）如圖3，若點P在BC邊上運動，且∠MPN繞點P旋轉，當CF=AE=2時，求PE的長.

Answer 1

（1）△EPF為等邊三角形.                  4分
（2）設BP=x，則CP＝6－x.
由題意可△BEP的面積為.△CFP的面積為.
△ABC的面積為.
設四邊形AEPF的面積為y.
∴.
自變量x的取值范圍為3＜x＜6.               8分
（3）可證△EBP∽△PCF.
∴ .
設BP=x，
則 . 解得 .
∴ PE的長為4或.                 12分

（1）要證三角形EPF是等邊三角形，已知了∠EPF=60°，主要再證得PE=PF即可，可通過證三角形PBE和PFC全等來得出結論，再證明全等過程中，可通過證明FP⊥BC和BE=PC來實現；
（2）根據△ABC的面積 △BEP的面積 △CFP的面積=四邊形AEPF面積求解
（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，設BP=x，則CP="6" x，由相似三角形的對應邊成比例可求出x的值，再根據勾股定理求出PE的值即可