Question

已知：如圖，在平面直角坐標系中，是直角三角形，，點的坐標分別為，
小題1:求過點的直線的函數(shù)表達式
小題2:在軸上找一點，連接，使得與相似（不包括全等），并求點的坐標；
小題3:在⑵的條件下，如分別是和上的動點，連接，設，問是否存在這樣的使得與相似，如果存在，請求出的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

小題1:∵點A（-3，0），C（1，0），
∴AC=4，BC=tan∠BAC×AC= ×4=3，B點坐標為（1，3），
設過點A，B的直線的函數(shù)表達式為y=kx+b，
由 0=k×(-3)+b ，
3=k+b
解得k= ，b= ，
∴直線AB的函數(shù)表達式為y= x+
小題2:如圖，過點B作BD⊥AB，交x軸于點D，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴D點為所求，
又tan∠ADB=tan∠ABC= ，
∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷ = ，
∴OD=OC+CD= ，∴D（ ，0）；
小題3:這樣的m存在．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
如圖1，
當PQ∥BD時，△APQ∽△ABD，則，
解得m= ，
如圖2，
當PQ⊥AD時，△APQ∽△ADB，
則
解得m= ．

主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．