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如圖,三角板ABC中,∠ACB=90°,AB=2,∠A=30°,三角板ABC繞直角頂點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1C,求:
(1)弧AA1的長;
(2)在這個旋轉(zhuǎn)過程中三角板AC邊所掃過的扇形ACA1的面積;
(3)在這個旋轉(zhuǎn)過程中三角板所掃過的圖形面積;
(4)在這個旋轉(zhuǎn)過程中三角板AB邊所掃過的圖形面積.
分析:(1)根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BC,再根據(jù)勾股定理列式求出AC的長,然后利用弧長公式列式計算即可得解;
(2)根據(jù)扇形的面積公式列式計算即可得解;
(3)設(shè)弧BB1與AB相交于D,可得△BCD是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出BD=BC=1,再求出AD的長,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出△ACD的面積,再根據(jù)三角板所掃過的面積=S扇形BCD+S扇形ACA1+S△ACD,然后列式計算即可得解;
(4)根據(jù)垂線段最短的性質(zhì),過點(diǎn)C作CE⊥AB于E,根據(jù)三角形的面積列式求出CE的長,再根據(jù)AB邊掃過的面積等于三角板掃過的面積減去△BCE、△A1CE1、扇形ECE1的面積,列式進(jìn)行計算即可得解.
解答:解:(1)∵∠ACB=90°,AB=2,∠A=30°,
∴BC=
1
2
AB=
1
2
×2=1,
根據(jù)勾股定理,AC=
AB2-BC2
=
22-12
=
3

∴弧AA1=
90•π•
3
180
=
3
2
π;

(2)扇形ACA1的面積=
90•π
3
2
360
=
3
4
π;

(3)設(shè)弧BB1與AB相交于D,
∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠B=90°-30°=60°,
又∵BC=CD,
∴△BCD是等邊三角形,
∴BD=BC=1,
∴AD=AB-BD=2-1=1,
∴S△ACD=
1
2
S△ABC=
1
2
×
1
2
×1×
3
=
3
4

∴三角板所掃過的圖形面積=S扇形BCD+S扇形ACA1+S△ACD
=
60•π•12
360
+
90•π
3
2
360
+
3
4

=
11
12
π+
3
4


(4)過點(diǎn)C作CE⊥AB于E,
S△ABC=
1
2
AB•CE=
1
2
BC•AC,
1
2
×2×CE=
1
2
×1×
3

解得CE=
3
2

S△BCE+S△A1CE1=S△ABC=
1
2
×1×
3
=
3
2

S扇形ECE1=
90•π•(
3
2
)
2
360
=
3
16
π,
∴AB邊所掃過的圖形面積=(
11
12
π+
3
4
)-
3
2
-
3
16
π=
35
48
π-
3
4
點(diǎn)評:本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,弧長的計算,扇形的面積公式,仔細(xì)分析圖形確定出三角板本身以及邊AC、AB所掃過的面積的組成是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,三角板ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=16cm,將三角板ABC繞直角頂點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)起始位置時的點(diǎn)B恰好落在邊A1B1上時,BB1的長是
 
cm.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖直角三角板ABC中,∠A=30°,BC=3cm,將直角三角板ABC繞著直角頂點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至△A1B1C1的位置,再沿CB向左平移使點(diǎn)B1落在△ABC的斜邊AB上,點(diǎn)A1平移到點(diǎn)A2的位置,則點(diǎn)A?A1?A2運(yùn)動的路徑長度是
 
cm.(結(jié)果用帶π和根號的式子表示)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,三角板ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=2.三角板繞直角頂點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)A的對精英家教網(wǎng)應(yīng)點(diǎn)A′落在AB邊的起始位置上時即停止轉(zhuǎn)動,則點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的路徑長為
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,三角板ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=6.三角板繞直角頂點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'落在AB邊的起始位置上時即停止轉(zhuǎn)動,則點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的路徑長為
 
(結(jié)果保留π).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,三角板ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=6.三角板繞直角頂點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′落在AB邊的起始位置上時即停止轉(zhuǎn)動,則陰影部分的面積為
6π-
9
3
2
6π-
9
3
2

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同步練習(xí)冊答案
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