Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，點D為BC的中點，動點E從點A出發(fā)，沿著A→B→A的方向以1cm/s的速度運動，當回到點A時停止運動，連接DE．設點E的運動時間為t（s），△BDE的面積為S（cm²）（這里規(guī)定：線段是面積為0的幾何圖形）．
（1）求AB的長；
（2）求S與t之間的函數(shù)關系式；
（3）當△BDE是直角三角形時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知和余弦的概念求出AB的長；
（2）作DF⊥AB于點F，根據(jù)三角函數(shù)的概念求出DF的長，分當0≤t≤4時和當4≤t≤8時兩種情況表示出S與t之間的函數(shù)關系式；
（3）分∠EDB=90°和∠DEB=90°兩種情況結合銳角三角函數(shù)的概念進行解答即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴AB=4cm；
（2）過點D作DF⊥AB于點F，
在Rt△BDF中，∠DBF=60°，
∴sinB=$\frac{DF}{BD}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
①當0≤t≤4時，S=$\frac{1}{2}$•BE•DF=$\frac{1}{2}$（4-t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t+$\sqrt{3}$，
②當4≤t≤8時，S=$\frac{1}{2}$•BE•DF=$\frac{1}{2}$（t-4）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t-$\sqrt{3}$；
（3）當∠EDB=90°，cosB=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{4-t}$=$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{t-4}$=$\frac{1}{2}$，
解得t=2或t=6，
當∠DEB=90°，cosB=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴4-t=$\frac{1}{2}$或t-4=$\frac{1}{2}$，
解得t=3.5或t=4.5．
當t=2、t=6、t=3.5、t=4.5時，△BDE是直角三角形．

點評 本題考查的是銳角三角函數(shù)、一次函數(shù)的應用和直角三角形的知識，掌握銳角三角函數(shù)的概念、正確進行分情況討論是解題的關鍵．