Question

【題目】如圖，正方形的邊長是3，，連接、交于點，并分別與邊、交于點、，連接，下列結論：①；②；③；④當時，．正確結論的個數為（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

由四邊形ABCD是正方形，得到AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可證明△DAP≌△ABQ，根據全等三角形的性質得到∠P=∠Q，根據余角的性質得到AQ⊥DP；故①正確；根據相似三角形的性質得到AO2=ODOP，故②正確；根據△CQF≌△BPE，得到S△CQF=S△BPE，根據△DAP≌△ABQ，得到S△DAP=S△ABQ，即可得到S△AOD=S四邊形OECF；故③正確；根據相似三角形的性質得到BE的長，進而求得QE的長，證明△QOE∽△POA，根據相似三角形對應邊成比例即可判斷④正確，即可得到結論．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°．

∵BP=CQ，

∴AP=BQ．

在△DAP與△ABQ中，∵，

∴△DAP≌△ABQ，

∴∠P=∠Q．

∵∠Q+∠QAB=90°，

∴∠P+∠QAB=90°，

∴∠AOP=90°，

∴AQ⊥DP；

故①正確；

∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，

∴∠DAO=∠P，

∴△DAO∽△APO，

∴，

∴AO2=ODOP．故②正確；

在△CQF與△BPE中，∵，

∴△CQF≌△BPE，

∴S△CQF=S△BPE．

∵△DAP≌△ABQ，

∴S△DAP=S△ABQ，

∴S△AOD=S四邊形OECF；故③正確；

∵BP=1，AB=3，

∴AP=4．

∵∠P=∠P，∠EBP=∠DAP=90°，

∴△PBE∽△PAD，

∴，

∴BE，

∴QE，

∵∠Q=∠P，∠QOE=∠POA=90°，

∴△QOE∽△POA，

∴，

∴，故④正確．

故選：D．