Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，弦PB與CD交于點F，且FC＝FB．

（1）求證：PD∥CB；

（2）若AB＝26，EB＝8，求CD的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CD＝24．

【解析】

（1）欲證明PD∥BC，只要證明∠P＝∠CBF即可；

（2）由△ACE∽△CBE，可得，求出EC，再根據垂徑定理即可解決問題.

（1）證明：∵FC＝FB，

∴∠C＝∠CBF，

∵∠P＝∠C，

∴∠P＝∠CBF，

∴PD∥BC．

（2）連接AC，

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵AB⊥CD，

∴CE＝ED，∠AEC＝∠CEB＝90°，

∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，

∴∠CAE＝∠BCE，

∴△ACE∽△CBE，

∴，

∴，

∴EC2＝144，

∵EC＞0，

∴EC＝12，

∴CD＝2EC＝24．