Question

某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%，經試銷發現，銷售量y（件）與銷售單價x（元）符合一次函數y=kx+b，且x=65時，y=55；x=75時，y=45．
（1）求一次函數y=kx+b的表達式；
（2）若該商場獲得利潤為W元，試寫出利潤W與銷售單價x之間的關系式；銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？
（3）若該商場獲得利潤不低于500元，試確定銷售單價x的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）列出二元一次方程組解出k與b的值可求出一次函數的表達式．
（2）依題意求出W與x的函數表達式可推出當x=87時商場可獲得最大利潤．
（3）由w=500推出x²-180x+7700=0解出x的值即可．
解答：解：（1）根據題意得
解得k=-1，b=120．
所求一次函數的表達式為y=-x+120．（2分）

（2）W=（x-60）•（-x+120）
=-x²+180x-7200
=-（x-90）²+900，（4分）
∵拋物線的開口向下，
∴當x＜90時，W隨x的增大而增大，
而銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%，
即60≤x≤60×（1+45%），
∴60≤x≤87，
∴當x=87時，W=-（87-90）²+900=891．
∴當銷售單價定為87元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是891元．（6分）

（3）由W≥500，得500≤-x²+180x-7200，
整理得，x²-180x+7700≤0，
而方程x²-180x+7700=0的解為 x₁=70，x₂=110．（7分）
即x₁=70，x₂=110時利潤為500元，而函數y=-x²+180x-7200的開口向下，所以要使該商場獲得利潤不低于500元，銷售單價應在70元到110元之間，
而60元/件≤x≤87元/件，所以，銷售單價x的范圍是70元/件≤x≤87元/件．（10分）
點評：求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．利用二次函數解決實際問題．