Question

已知：如圖，⊙O中，AB、AC是弦，CD是直徑，PC是⊙O的切線，切點為C，割線PD交⊙O于點E，DE=，PE=，BD=2，∠ACD=15°．求AB的長（不取近似值）

Answer 1

【答案】分析：連接BC，由CD為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠CBD為直角，再由同弧所對的圓周角相等求出∠ABD的度數，由∠CBD-∠ABD求出∠ABC的度數，由PC為圓的切線，利用切割線定理列出關系式，而PD=PE+DE，求出PC的長，在直角三角形PCD中，利用勾股定理求出CD的長，確定出圓的半徑，利用銳角三角函數定義求出cos∠BDC的值，利用特殊角的三角函數值求出∠BDC的度數，進而求出∠BCD的度數，連接BO，由CO=DO，得到∠CBO的度數，確定出∠ABO的度數，利用銳角三角函數定義即可求出BH的長，由垂徑定理得到H為AB的中點，根據AB=2BH即可求出AB的長．
解答：解：連接BC，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CBD=90°，
又∵∠ABD=∠ACD=15°，
∴∠ABC=∠CBD-∠ABD=75°，
∵PC是⊙O的切線，
∴PC²=PE•PD，
∵PD=PE+DE=+=6，PE=，
∴PC==2，
又∵PC⊥CD，
∴∠PCD=90°，
在Rt△PCD中，由勾股定理，得CD===2，
∴圓O的半徑為，
∵cos∠BDC===，
∴∠BDC=45°，
∴∠BCD=90°-∠BDC=45°=∠BDC，
∴BC=BD=2，
連接BO，
∵CO=DO，
∴∠CBO=∠CBD=45°，
∴∠ABO=∠ABC-∠CBO=30°，
作OH⊥AB，垂足為H，由垂徑定理得到H為AB的中點，
∵cos∠ABO=，
∴BH=BO•cos∠ABO=•cos30°=，
則AB=2BH=2×=．
點評：此題考查了切線的判定與性質，圓周角定理，銳角三角函數定義，垂徑定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．