Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點M（﹣2，），頂點坐標為N（﹣1，），且與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為拋物線對稱軸上的動點，當△PBC為等腰三角形時，求點P的坐標；

（3）在直線AC上是否存在一點Q，使△QBM的周長最小？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

       解：（1）由拋物線頂點坐標為N（﹣1，），可設其解析式為y=a（x+1）²+，

將M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）²+，

解得a=﹣，

故所求拋物線的解析式為y=﹣x²﹣x+；

（2）∵y=﹣x²﹣x+，

∴x=0時，y=，

∴C（0，）．

y=0時，﹣x²﹣x+=0，

解得x=1或x=﹣3，

∴A（1，0），B（﹣3，0），

∴BC==2．

設P（﹣1，m），顯然PB≠PC，所以

當CP=CB時，有CP==2，解得m=±；

當BP=BC時，有BP==2，解得m=±2．

綜上，當△PBC為等腰三角形時，點P的坐標為（﹣1，+），（﹣1，﹣），（﹣1，2），（﹣1，﹣2）；

（3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，

所以BC²+AC²=AB²，即BC⊥AC．

連結BC并延長至B′，使B′C=BC，連結B′M，交直線AC于點Q，

∵B、B′關于直線AC對稱，

∴QB=QB′，

∴QB+QM=QB′+QM=MB′，

又BM=2，所以此時△QBM的周長最小．

由B（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）．

設直線MB′的解析式為y=kx+n，

將M（﹣2，），B′（3，2）代入，

得，解得，

即直線MB′的解析式為y=x+．

同理可求得直線AC的解析式為y=﹣x+．

由，解得，即Q（﹣，）．

所以在直線AC上存在一點Q（﹣，），使△QBM的周長最小．