Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，且AB=4，點C在半徑OA上（點C與點O、點A不重合），過點C作AB的垂線交⊙O于點D．連接OD，過點B作OD的平行線交⊙O于點E，交CD的延長線于點F．

（1）若點E是的中點，求∠F的度數；

（2）求證：BE=2OC；

（3）設AC=x，則當x為何值時BEEF的值最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）∠F=30°；（2）見解析；（3）當x= 時，最大值=9．

【解析】分析：

（1）如圖，連接OE，由OD∥OE可得∠DOE=∠OEB，由點E是的中點可得∠DOE=∠BOE，由OB=OE可得∠OBE=∠OEB，由此可得∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，結合CF⊥AB即可得到∠F=30°；

（2）過點O作OM⊥BE于點M，由此可得BE=2BM，再證△OBM≌△DOC可得BM=OC，這樣即可得到結論BE=2OC；

（3）由OD∥BF可得△COD∽△CBF，由此可得，由AB=4，AC=x結合（2）中結論可得OD=OB=BE=2，BC=4-x，OC=2-x，BE=2OC=4-2x，由此即可解得BF=，從而可得EF=BF-BE=，這樣即可把BEEF用含x的代數式表達出來，化簡配方即可求得所求答案了.

詳解：

（1）如圖1，連接OE．

∵，

∴∠BOE=∠EOD，

∵OD∥BF，

∴∠DOE=∠BEO，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，

∵CF⊥AB，

∴∠FCB=90°，

∴∠F=30°；

（2）如圖1，過O作OM⊥BE于M，

∵OB=OE，

∴BE=2BM，

∵OD∥BF，

∴∠COD=∠B，

在△OBM與△DOC中 ，

∴△OBM≌△DOC，

∴BM=OC，

∴BE=2OC；

（3）∵OD∥BF，

∴△COD∽△CBF，

∴，

∵AC=x，AB=4，

∴OA=OB=OD=2，

∴OC=2﹣x，BE=2OC=4﹣2x，

∴，

∴BF=，

∴EF=BF﹣BE=，

∴BEEF=，

∴當時，最大值=9．