Question

你能比較兩個數2009²⁰⁰⁸和2008²⁰⁰⁹的大小嗎？為了解決這個問題，我們首先把它抽象成一般形式，即比較（n+1）ⁿ和nⁿ⁺¹的大小（n為自然數），我們分析時從特殊向簡單的情形入手，通過對n=1，n=2，n=3，…時的分析，從中發現規律，經過歸納，猜想出結論．
（1）計算，比較下列各組數中兩個數大小（在空格中填“＞”、“=”、“＜”）1²（       ）2¹，2³（      ）3²，3⁴（       ）4³，4⁵（       ）5⁴，5⁶（      ）6⁵，6⁷（      ）7⁶
（2）從上面的結果進行歸納猜想，nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關系是：①當n=1和n=2時，（       ）；②當（       ）
（3）根據上面的歸納猜想的規律，試比較2009²⁰⁰⁸和2008²⁰⁰⁹的大小．

Answer 1

解：（1）算出兩數的值比較大小得：1²＜2¹，2³＜3²，3⁴＞4³，4⁵＞5⁴，5⁶＞6⁵，6⁷＞7⁶；
（2）由第一問的結果可得出規律：當n=1和n=2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（3）由第二問的規律得：2009²⁰⁰⁸＜2008²⁰⁰⁹．