Question

你能比較兩個數2010²⁰¹¹和2011²⁰¹⁰的大小？
（1）通過計算，比較下列各數的大小：
1²

＜

2¹；2³

＜

3²；3⁴

＞

4³；4⁵

＞

5⁴；5⁶

＞

6⁵；…
（2）從第一題的結果經過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ大小關系是

當n≤2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，當n＞2時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ

．
（3）根據上面的歸納猜想得到的結論，試比較兩數大小2010²⁰¹¹

＞

2011²⁰¹⁰．

Answer 1

分析：（1）分別進行計算即可比較出大小；
（2）根據計算結果總結即可；
（3）根據（2）的結論，結合n=2010解答．

解答：解：（1）1²=1，2¹=2，
∵1＜2，
∴1²＜2¹，

2³=8，3²=9，
∵8＜9，
∴2³＜3²，

3⁴=81，4³=64，
∵81＞64，
∴3⁴＞4³，

4⁵=1024，5⁴=625，
∵1024＞625，
∴4⁵＞5⁴，

5⁶=15625，6⁵=7776，
∵15625＞7776，
∴5⁶＞6⁵；

（2）根據（1）的計算，當n≤2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當n＞2時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）∵n=2010＞2，
∴2010²⁰¹¹＞2011²⁰¹⁰．
故答案為：（1）＜、＜、＞、＞、＞，（2）當n≤2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，當n＞2時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，（3）＞．

點評：本題考查了有理數的乘方，根據乘方的定義正確運算是準確總結出大小變化規律的關鍵．