Question

你能比較兩個數2004²⁰⁰³和2003²⁰⁰⁴的大小嗎？
為了解決這個問題，我們首先把它抽象成一般開工，即比較（n+1）ⁿ和nⁿ⁺¹的大小（n為自然數），我們從分析特殊向簡單的情形入手，n=1，n=2，n=3，…的分析，從中發現規律，經過歸納，猜想出結論．
（1）計算，比較下列各組數中兩個數大小（在空格中填“＞”、“=”、“＜”）1²

＜

2¹，2³

＜

3²，3⁴

＞

4³，4⁵

＞

5⁴，5⁶

＞

6⁵，…
（2）從上面的結果進行歸納猜想，nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關系是

nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ（n＜3）；nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n≥3）

．
（3）根據上面的歸納猜想出一般結論，試比較2004²⁰⁰³和2003²⁰⁰⁴的大小．

Answer 1

分析：（1）利用有理數的乘方運算法則得出即可；
（2）利用（1）中所求得出變化規律，進而得出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關系；
（3）利用（1）中所求得出變化規律，進而得出2004²⁰⁰³和2003²⁰⁰⁴的大小關系．

解答：解：（1）∵1²=1，2¹=2，
∴1²＜2¹，
∵2³=8，3²=9，
∴2³＜3²，
∵3⁴=81，4³=64，
∴3⁴＞4³，
∵4⁵=1024，5⁴=625，
∴4⁵＞5⁴，
∵5⁶=15625，6⁵=7776
∴5⁶＞6⁵，
故答案為：＜，＜，＞，＞，＞；

（2）由（1）得出：nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ（n＜3）；
nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n≥3）；
故答案為：nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ（n＜3）；nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n≥3）；

（3）根據上面歸納猜想得到的一般結論可知2004²⁰⁰³＜2003²⁰⁰⁴．

點評：本題考查的是有理數的乘方，先根據有理數乘方的法則計算出各數，再根據已知數據得出一般規律是解題關鍵．