Question

22、問題：你能比較兩個數2002²⁰⁰³與2003²⁰⁰²的大小嗎？為了解決這個問題，我們先把它抽象成這樣的問題：寫成它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n是自然數）．然后，我們分析n=1，n=2，n=3…這些簡單情形入手，從而發現規律，經過歸納，才想出結論．
（1）通過計算，比較下列各組中兩個數的大小（在空格中填“＜”“＞”“=”）
①1²＜2¹②2³＜3²③3⁴＞4³④4⁵＞5⁴
⑤5⁶＞6⁵⑥6⁶＞7⁵
（2）從第（1）題的結果經過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關系；
（3）根據上面歸納猜想得到的一般結論，試比較下列兩個數的大小：2002²⁰⁰³＞2003²⁰⁰²．

Answer 1

分析：通過比較簡單數的乘方的大小，總結規律，可知當n=1或2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，當n≥3，且n為自然數時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ．

解答：解：探究：
（1）①1²＜2¹②2³＜3²③3⁴＞4³④4⁵＞5⁴；
（2）當n=1或2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，當n≥3，且n為自然數時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（3）2002²⁰⁰³＞2003²⁰⁰²．

點評：本題運用了由特殊到一般的方法，注意總結規律．