Question

如圖所示，在RtABC中，∠C=90°,∠BAC=60°，AB=8.半徑為的⊙M與射線BA相切，切點為N，且AN=3.將RtABC繞A點順時針旋轉120°后得到RtADE，點B、C的對應點分別是點D、E.

(1)畫出旋轉后的RtADE，求出RtADE 的直角邊DE被⊙M截得的弦PQ的長度；

(2)判斷RtADE的斜邊AD所在的直線與⊙M的位置關系（直接寫出答案）

 

Answer 1

【答案】

（1）解：如圖所示 ，過M作MF⊥PQ于F，連接MP 

             MF=NE=AE-AN=AC-AN=4-3=1   

          在Rt△PFM中， PM²= PF² +FM²           PF=

          PQ=2

(2)  AD與⊙M相切．

證明：過點M作MH⊥AD于H，連接MN，MA，則MN⊥AE，且MN= 3 ，

在Rt△AMN中，tan∠MAN= ，

∴∠MAN=30°，

∵∠DAE=∠BAC=60°，

∴∠MAD=30°，

∴∠MAN=∠MAD=30°，

∴MH=MN，

∴AD與⊙M相切．

【解析】（1）把三角形AB旋轉120°就能得到圖形．

（2）連接MQ，過M點作MF⊥DE，由AN=3，AC=4，求出NE的長；在Rt△MFQ中，利用勾股定理可求出QF，根據垂徑定理知QF就是弧長PQ的一半．

（3）過M作AD的垂線設垂足為H，然后證MH與⊙M半徑的大小關系即可；連接AM、MN，由于AE是⊙M的切線，故MN⊥AE，在Rt△AMN中，通過解直角三角形，易求得∠MAN=30°，由此可證得AM是∠DAE的角平分線，根據角平分線的性質即可得到MH=MN，由此可證得⊙M與AD相切．