Question

△ABC是⊙O的內接三角形，∠BAC=60°，D是的中點，AD=a，則四邊形ABDC的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據題意求得∠DBC=∠DCB=30°，設BD=DC=x，那么BC=x，由正弦定理和托勒密定理AB+AC=a，再根據S_{四邊形ABDC}=S_△ABD+S_△ACD，從而求得答案．
解答：解：解法一：在ABDC中，∠BAC=60度，所以∠BDC=120°，
∵點D是弧BC的中點，
∴BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
在△BDC中用正弦定理，得
∴BC=BD，
設BD=DC=x，那么BC=x，
用托勒密定理：AD•BC=AB•DC+BD•AC，
即ax=x•AB+x•AC，
則AB+AC=a，
S_{四邊形ABDC}=S_△ABD+S_△ACD=（AB•AD•sin∠BAD+AC•AD•sin∠DAC），
=（AB+AC）AD•sin30°，
=a²；

解法二：如圖，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，
∵D是的中點，
∴BD=CD，∠BAD=∠FAD，
∴DE=DF（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等），
在Rt△DBE與Rt△DCF中，，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴S_△DBE=S_△DCF，
∴S_{四邊形ABDC}=S_{四邊形AEDF}，
∵點D是弧BC的中點，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°，
∵AD=a，
∴AE=AD•cos30°=a，
DE=AD•sin30•=a，
∴S_{四邊形AEDF}=2S_△ADE=2××a×a=a²．
故答案為：a²．
點評：本題考查了圓內接四邊形的性質以及圓周角定理，是競賽題難度偏大．