Question

5．如圖，已知正方形ABCD，AB=4，動點M、N分別從D、B兩點同時出發，且都以1個單位/秒的速度勻速運動，點M沿DA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點M作MP⊥AD，交AC于點P，連結NP．設運動時間為x秒．
（1）PM的長為4-x（用含x的代數式表示）；
（2）試求△NPC的面積S與時間x的函數表達式并寫出定義域；
（3）當△NPC為一個等腰三角形時，求出所有滿足條件的x值．

Answer 1

分析 （1）由題意知MD=x，則AM=4-x，根據正方形的性質得到CD⊥AD，根據相似三角形的性質得到$\frac{AM}{AD}=\frac{PM}{CD}$，代入數據即可得到結論；
（2）如圖1，延長MP交BC于Q點，根據正方形的性質得到∠D=∠BCD=90°，AB=BC=CD=4，推出四邊形MQCD是矩形，根據矩形的性質得到∠PQC=90°，MQ=CD，根據三角形的面積公式即可得到結論；
（3）當CN=PN時 如圖2，由正方形的性質得到∠NCP=45°，得到∠PNC=90°，求得x=2，當CN=CP時，如圖3，CN=4-x，CQ=MD=x根據等腰直角三角形得到CP=$\sqrt{2}$CQ=$\sqrt{2}x$，于是得到x=4$\sqrt{2}$-4，當PN=CP時，如圖4，求得∠NPC=90°，根據直角三角形的性質得到$x=\frac{4}{3}$．

解答 解：（1）由題意知：MD=x，則AM=4-x，
∵四邊形ABCD正方形，
∴CD⊥AD，
∵MP⊥AD，
∴MP∥CD，
∴△AMP∽△ADC，
∴$\frac{AM}{AD}=\frac{PM}{CD}$，
∴$\frac{4-x}{4}=\frac{PM}{4}$，
∴PM=4-x，
故答案為：4-x；

（2）如圖1，延長MP交BC于Q點，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BCD=90°，AB=BC=CD=4，
∵MP⊥AD，
∴∠PMD=90°，
∴四邊形MQCD是矩形，
∴∠PQC=90°，MQ=CD，
∴PQ⊥NC，
∵CD=4，
∴MQ=4，
由（1）知MP=4-x，
∴PQ=x，
據題意得 BN=x，
∴CN=4-x，
∴S=$\frac{1}{2}$NC•PQ=$\frac{1}{2}$x（4-x）=2x-$\frac{1}{2}$x²（0＜x＜4）；

（3）當CN=PN時 如圖2，
∴∠NPC=∠NCP，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠NCP=45°，
∴∠PNC=90°，
CN=4-x，PN=x，
∴x=2，
當CN=CP時，如圖3，CN=4-x，CQ=MD=x
等腰直角三角形 PQC中，CP=$\sqrt{2}$CQ=$\sqrt{2}x$，
∴x=4$\sqrt{2}$-4，
當PN=CP時，如圖4，
∴∠PNC=∠PCN=45°，
∴∠NPC=90°，
∵PQ⊥NC∴Q是NC的中點，
∴NC=2PQ，
∴$x=\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了矩形的性質，正方形的性質，相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，正確的作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．