Question

3．如圖，在△ABC和△ADE中．AB=AC，AD=AE，且∠CAB=∠EAD=α．
（1）求證：CE=BD；
（2）求CE與BD的夾角．

Answer 1

分析 （1）由已知條件證出∠CAE=∠BAD，由SAS證明△CAE≌△BAD，得出對應邊相等即可；
（2）延長BD交CE于F，由全等三角形的性質得出∠ACE=∠ABD，由三角形內角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-α，證出∠DBC+∠BCF=180°-α，得出∠BFC=α即可．

解答 （1）證明：∵∠CAB=∠EAD=α，
∴∠CAE=∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠CAE=∠BAD}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴CE=BD．
（2）證明：延長BD交CE于F，如圖所示：
∵△CAE≌△BAD，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠CAB=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
即∠ABD+∠DBC+∠ACB=180°-α，
∴∠DBC+∠ACB+∠ACE=180°-α，
即∠DBC+∠BCF=180°-α，
∴∠BFC=α．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形內角和定理；熟練掌握全等三角形的判定與性質，并能進行推理論證是解決問題的關鍵．