Question

8．如圖，在平面直角坐標系中，點B的坐標為（-1，0），點C的坐標為（1，0），點D為y軸一點，點A為第二象限內一動點，且∠BAC=2∠BDO，過D作DM⊥AC于M．
（1）求證：∠ABD=∠ACD；
（2）若點E在BA的延長線上，求證：AD平分∠CAE；
（3）當A點運動時，$\frac{CA-BA}{AM}$的值是否發生變化？若不變，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據三角形的內角和得到∠ABD+∠CBD+∠ACB=180°-∠BAC，推出∠ABD+∠CBD+∠ACB=180-2∠BDO，根據三角形的內角和得到∠ACD+∠ACB+∠CBD=180°-∠ADC，根據等腰三角形的性質得到∠BDC=2∠BDO，推出∠ACD+∠ACB+∠CBD=180°-2∠BDO②；①-②即可得到結論；
（2）過D作DN⊥BE于N，推出△BDN≌△CDM，根據全等三角形的性質得到DM=DN，由角平分線的性質得到結論；
（3）根據全等三角形的性質得到BN=CM，根據角平分線的性質得到AN=AM，由于BN=AN+AB=AM+AB，CM=AC-AM，于是得到AM+AB=AC-AM，求得AC-AB=2AM，于是得到結論．

解答 （1）證明：在△ABC中，
∵∠ABD+∠CBD+∠ACB=180°-∠BAC，
∵∠BAC=2∠BDO，
∴∠ABD+∠CBD+∠ACB=180-2∠BDO，①
在△BCD中，∠ACD+∠ACB+∠CBD=180°-∠ADC，
∵BO=CO=1，
∴∠BDC=2∠BDO，
∴∠ACD+∠ACB+∠CBD=180°-2∠BDO，②
①-②得，∠ABD-∠ACD=0，
∴∠ABD=∠ACD；

（2）解：如圖，

過D作DN⊥BE于N，
由于BD=CD，∠ABD=∠ACD；
在△BDN與△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠ACD}\\{∠BND=∠CMD=90°}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDN≌△CDM，
∴DM=DN，
∴AD是∠CAE的角平分線；

（3）解：$\frac{CA-BA}{AM}$的值不發生變化，
理由：∵△BDN≌△CDM，
∴BN=CM，
∵AD是∠CAE的角平分線，
∴AN=AM，
∵BN=AN+AB=AM+AB，CM=AC-AM，
∴AM+AB=AC-AM，
∴AC-AB=2AM，
∴$\frac{CA-BA}{AM}$=2是定值．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形的內角和，角平分線的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．