Question

11．如圖，AB為⊙O的弦，D為AB上一點，且OD⊥OB，直線l⊥OA，且直線l與OA的延長線交于點A′，與BA的延長線交于點E，與OD的延長線交于點C′．
（1）在圖中找出與C′D相等的線段，并說明理由；
（2）若A′C′=9cm，OA′=12cm，⊙O的半徑為6cm，求線段OD的長．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質和角的互余關系得出∠AEA′=∠EDC′，即可得出結論；
（2）由勾股定理求出OC′，證出OA=OB=AA′，由AAS證明△AEA’≌△ODB，由對應邊相等得出A′E=OD，得出關系式，即可得出結果．

解答 解：①C′D=C′E，理由如下：
∵直線l⊥OA，且直線l與OA的延長線交于點A′，
∴∠OA′C′=90°，
∵OD⊥OB，
∴∠DOB=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
又∵∠AEA′+∠E AA′=∠OBA+∠ODB=90°，
∠ODB=∠EDC′，∠OAB=∠E AA′，
∴∠AEA′=∠EDC′，
∴C′D=C′E；

（2）在Rt△OA′C′中，A′C′=9cm，OA′=12cm，
∴OC′²=A′C′+OA′=9²+12²=225，
∴OC′=15，
∵OA=6cm，
∴AA′=6cm，
∴OA=OB=AA′，
在△AEA′與△ODB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AA′E=∠DOB=90°}\\{∠OBA=∠EAA′}\\{OB=AA′}\end{array}\right.$，
∴△AEA’≌△ODB（AAS），
∴A′E=OD，
∵C′D=C′E，
∴9+A′E=15-OD
∴9+OD=15-OD，
∴OD=3．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質，圓周角定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．