Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P（0，4），點A在線段OP上，點B在x軸正半軸上，且AP=OB=t，0＜t＜4，以AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD；過點C、D依次向x軸、y軸作垂線，垂足為M，N，設(shè)過O，C兩點的拋物線為y=ax²+bx+c．

（1）填空：△AOB≌△　      　≌△BMC（不需證明）；用含t的代數(shù)式表示A點縱坐標(biāo)：A（0，　    　）；

（2）求點C的坐標(biāo)，并用含a，t的代數(shù)式表示b；

（3）當(dāng)t=1時，連接OD，若此時拋物線與線段OD只有唯一的公共點O，求a的取值范圍；

（4）當(dāng)拋物線開口向上，對稱軸是直線x=2﹣，頂點隨著的增大向上移動時，求t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）如圖，∵∠DNA=∠AOB=90°，

∴∠NAD=∠OBA（同角的余角相等）．

在△AOB與△DNA中，，

∴△AOB≌△DNA（SAS）．

同理△DNA≌△BMC．

∵點P（0，4），AP=t，

∴OA=OP﹣AP=4﹣t．

故答案是：DNA或△DPA；4﹣t；

（2）由題意知，NA=OB=t，則OA=4﹣t．

∵△AOB≌△BMC，

∴CM=OB=t，

∴OM=OB+BM=t+4﹣t=4，

∴C（4，t）．

又拋物線y=ax²+bx+c過點O、C，

∴，

解得 b=t﹣4a；

（3）當(dāng)t=1時，拋物線為y=ax²+（﹣4a）x，NA=OB=1，OA=3．

∵△AOB≌△DNA，

∴DN=OA=3，

∵D（3，4），

∴直線OD為：y=x．

聯(lián)立方程組，得，

消去y，得

ax²+（﹣﹣4a）x=0，

解得 x=0或x=4+，

所以，拋物線與直線OD總有兩個交點．

討論：①當(dāng)a＞0時，4+＞3，只有交點O，所以a＞0符合題意；

②當(dāng)a＜0時，若4+＞3，則a＜﹣．

又a＜0

所以 a＜﹣．

若4+＜0，則得a＞﹣．

又a＜0，

所以﹣＜a＜0．

綜上所述，a的取值范圍是a＞0或a＜﹣或﹣＜a＜0．

（4）拋物線為y=ax²+（﹣4a）x，則頂點坐標(biāo)是（﹣，﹣（t﹣16a）²）．

又∵對稱軸是直線x=﹣+2=2﹣，

∴a=t²，

∴頂點坐標(biāo)為：（2﹣，﹣（1﹣4t）²），即（2﹣，﹣（t﹣）²）．

∵拋物線開口向上，且隨著t的增大，拋物線的頂點向上移動，

∴只與頂點坐標(biāo)有關(guān)，

∴t的取值范圍為：0＜t≤．