Question

已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）

（1）求此二次函數的解析式以及頂點D的坐標；

（2）如圖①，過此二次函數拋物線圖象上一動點P（m，n）（0＜m＜3）作y軸平行線，交直線BC于點E，是否存在一點P，使線段PE的長最大？若存在，求出PE長的最大值；若不存在，說明理由．

（3）如圖②，過點A作y軸的平行線交直線BC于點F，連接DA、DB、四邊形OAFC沿射線CB方向運動，速度為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，當點C與點F重合時立即停止運動，求運動過程中四邊形OAFC與四邊形ADBF重疊部分面積S的最大值．

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）利用待定系數法即可求得拋物線的解析式，然后化為頂點式即可求得頂點的坐標．

（2）先求得直線BC的解析式，設P（x，﹣x²+4x﹣3），則F（x，x﹣3），根據PF等于P點的縱坐標減去F點的縱坐標即可求得PF關于x的函數關系式，從而求得P的坐標和PF的最大值；

（3）線利用待定系數法求得直線AD的解析式為y=x﹣1，直線BC的解析式為：y=x﹣3，從而得到AD∥BC，且與x軸正半軸夾角均為45°，由平行于與y軸的直線上點的坐標特點可求得F（1，﹣2），從而可求得AF=2，由當點C與點F重合時立即停止運動，可知0≤t≤，由AF∥A′F′，AD∥C′B，可知四邊形AFF′A′為平行四邊形，根據由平行四邊形的面積公式可知當t=時，重合部分的面積最大，設A′F′與x軸交于點K，依據特殊銳角三角函數值可求得AK=1．依據平行四邊形的面積公式可求得重合部分的最大面積為2．

【解答】解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣3），將點C的坐標代入得：3a=﹣3，

解得：a=﹣1．

∵將a=﹣1代入得：y=﹣（x﹣1）（x﹣3）=﹣x²+4x﹣3．

∴拋物線的解析式為y=﹣x²+4x﹣3．

由拋物線的對稱軸方程可知：x=﹣=2，

將x=2代入拋物線的解析式得：y=1．

∴點D的坐標為（2，1）．

（2）存在．

理由：設直線BE的解析式為y=kx+b．

將B（3，0），C（0，﹣3）代入上式，得：，

解得：k=1，b=﹣3．

則直線BC的解析式為y=x﹣3．

∵PE∥y軸，

∴點P與點E的橫坐標均為m．

∵將x=m代入直線BC的解析式的y=m﹣3，

∴點E的坐標為（m﹣3）．

將x=m代入拋物線的解析式得y=﹣m²+4m﹣3，

∴點P的坐標為（m，﹣m²+4m﹣3）．

∴PE═﹣m²+4m﹣3﹣（m﹣3）=﹣m²+3m=﹣（m²﹣3m+﹣）=﹣（m﹣）2+．

∴當m=時，PE的長有最大值，最大值為．

（3）如圖所示：

∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，﹣3），

∴可求得直線AD的解析式為：y=x﹣1；直線BC的解析式為：y=x﹣3．

∴AD∥BC，且與x軸正半軸夾角均為45°．

∵AF∥y軸，

∴F（1，﹣2），

∴AF=2．

∵當點C與點F重合時立即停止運動，

∴0≤t≤．

∵AF∥A′F′，AD∥C′B，

∴四邊形AFF′A′為平行四邊形．

∵當AA′有最大值時，重合部分的面積最大．

∴當t=時，重合部分的面積最大．

設A′F′與x軸交于點K，則AK=AA′==1．

∴S=S_{▱AFF′A′}=AF•AK=2×1=2．

四邊形OAFC與四邊形ADBF重疊部分面積S的最大值為2．

【點評】本題是二次函數綜合題，考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法求解析式、最值、平行四邊形、等腰直角三角形、圖形面積計算等知識點．列出線段PE的表達式是解決問題（2）的關鍵，證得四邊形AFF′A′為平行四邊形是解答問題（3）關鍵．