Question

如圖，⊙O的半徑r=25，四邊形ABCD內接圓⊙O，AC⊥BD于點H，P為CA延長線上的一點，且∠PDA=∠ABD．

（1）試判斷PD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若tan∠ADB=，PA=AH，求BD的長；
（3）在（2）的條件下，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

解：（1）PD與圓O相切。理由如下：

如圖，連接DO并延長交圓于點E，連接AE，
∵DE是直徑，∴∠DAE=90°。∴∠E+∠ADE=90°。
∵∠PDA=∠ABD=∠E，∴∠PDA+∠ADE=90°。
∴PD⊥DO。
∴PD與圓O相切于點D。
（2）∵tan∠ADB=，∴可設AH=3k，則DH=4k，
∵PA=AH，∴PA=（）k，
∴PH=k。
∴在Rt△PDH中，。∴∠P=30°，∠PDH=60°。
∵PD⊥DO，∴∠BDE=90°﹣∠PDH=30°。
連接BE，則∠DBE=90°，DE=2r=50，
∴BD=DE•cos30°=。
（3）由（2）知，BH=﹣4k，∴HC=（﹣4k）。
又∵PD²=PA×PC，∴。
解得：k=。
∴AC=3k+（﹣4k）=+7，
∴S_{四邊形ABCD}=BD•AC=××（+7）=900+。

（1）首先連接DO并延長交圓于點E，連接AE，由DE是直徑，可得∠DAE的度數，又由∠PDA=∠ABD=∠E，可證得PD⊥DO，即可得PD與圓O相切于點D。
（2）由tan∠ADB=，可設AH=3k，則DH=4k，又由PA=AH，易求得∠P=30°，∠PDH=60°，連接BE，則∠DBE=90°，DE=2r=50，可得BD=DE•cos30°=。
（3）由（2）易得（﹣4k），又由PD²=PA×PC，可得方程：，解此方程即可求得AC的長，繼而求得四邊形ABCD的面積。