Question

【題目】如圖，已知二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交于點A(－1，0)，對稱軸為直線x＝1，與y軸的交點B在(0，2)和(0，3)之間(包括這兩點),下列結論：①當x＞3時，y＜0；②3a＋b＞0；③－1≤ a ≤－；④4ac－b2＞8a；（5）3a+c=0，其中正確的結論有（ ）個

A. 2B. 3C. 4D. 5

Answer 1

【答案】B

【解析】

①先由拋物線的對稱性求得拋物線與x軸另一個交點的坐標為（3，0），從而可知當x>3時，y<0；

②由拋物線開口向下可知a<0，然后根據x=-=1，可知：2a+b=0，從而可知3a+b=0+a=a<0；

③設拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3)，則y=ax2-2ax-3a，令x=0得：y=-3a．由拋物線與y軸的交點B在（0，2）和（0，3）之間，可知2≤-3a≤3；

④由4ac-b2>8a得c-2<0與題意不符；

⑤將(-1,0)代入物線的解析式得到a-b+c=0，由x=-=1，可知b=-2a，將b=-2a代入a-b+c=0便得到3a+c=0.

解：①由拋物線的對稱性可求得拋物線與x軸另一個交點的坐標為(3,0)，當x>3時，y<0，故①正確；

②拋物線開口向下，故a<0，

∵x==1，

∴2a+b=0，

∴3a+b=0+a=a<0，故②錯誤；

③設拋物線的解析式為y=a(x+1)(x3),則y=ax22ax3a，

令x=0得：y=3a.

∵拋物線與y軸的交點B在(0,2)和(0,3)之間，

∴23a3.

解得：1a，故③正確；

④∵拋物線y軸的交點B在(0,2)和(0,3)之間，

∴2c3，

由4acb2>8a得：4ac8a>b2，

∵a<0，

∴c2<，

∴c2<0

∴c<2，與2c3矛盾，故④錯誤；

⑤將(-1,0)代入物線的解析式得到a-b+c=0，

∵x=-=1，

∴b=-2a，

∴a-(-2a)+c=3a+c=0，故⑤正確.

故選B.