Question

【題目】在平面直角坐標系中，四邊形OABC如圖所示，點A在x軸負半軸上，BC∥AO（點B位于點C左側），邊BA、CO的延長線交于第三象限的點D，且DB=DC，若點B的橫坐標是﹣4，AD：BD＝1:3．

（1）求點A的坐標；

（2）連接OB，若△OBC是等腰三角形，求點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點A的坐標為（﹣2，0）；（2）C（2，2）或C（2，4）．

【解析】

（1）過點B作BE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F，根據已知條件證明DF垂直平分AO，得到2AF+AE=4①，再根據DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，得到，即AE=2AF②，再由①②得到AE=2，AF=1，故可得到A點坐標；

（2）根據題意得到B、C兩點關于直線x=﹣1對稱，由B點橫坐標為﹣4，得到C點橫坐標為2，故BC=2﹣（﹣4）=6，再分兩種情況討論：當BO=BC時與OC=BC時，利用勾股定理進行求解.

（1）如圖，過點B作BE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F．

∵BC∥AO，

∴∠DBC=∠DAO，∠DCB=∠DOA

∵DB=DC

∴∠DAO =∠DOA

∴DA=DO 又∵DF⊥x軸

∴OF=AF，則2AF+AE=4①．

∵DF∥BE，

∴△ADF∽△ABE，

∴，即AE=2AF②，

①與②聯立，解得AE=2，AF=1，

∴點A的坐標為（﹣2，0）；

（2）由題意得∠OAB＞90°，OB＞AB=OC，

∵DA=DO，DB=DC

∴B、C兩點關于直線x=﹣1對稱，B點橫坐標為﹣4，

∴C點橫坐標為2，

∴BC=2﹣（﹣4）=6．

∴當△OBC是等腰三角形時，分兩種情況討論：

①當BO=BC時，設B（﹣4，y1），

則16+=36，解得y1=±2（負值舍去）．

∴C（2，2）；

②當OC=BC時，設C（2，y2），

則4+=36，解得y2=±4（負值舍去）．

∴C（2，4）．

∴C（2，2）或C（2，4）．