Question

如圖所示△ABC中,點O是AC邊上的一個動點,過點O作直線MN∥BC,設MN交∠BCA的平分線于點E,交∠BCA的外角平分線于點F.

(1)    求證: EO=FO.

(2)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論。

Answer 1

證明：（1）∵CE、CF分別是∠BCA和∠BCA的外角平分線

     ∴∠1＝∠2      ∠3＝∠4

     又∵MN∥BC

     ∴∠1＝∠5        ∠6=∠4

     ∴ ∠2= ∠5           ∠3=∠6 

∴OE=OC    OF=OC

∴OE=OF

（2）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形

證明：由（1）知，無論點O怎樣運動

∠ECF=     OE=OF

當點O運動到AC的中點，即OA=OC

∴四邊形AECF為平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）

又∵∠ECF=

∴ 四邊形AECF為矩形（有一個角為的平行四邊形為矩形）