Question

如圖已知△ABC內，P、Q分別在BC，CA上，并且AP、BQ分別是∠BAC、∠ABC的平分線．
（1）若∠BAC=60°，∠ACB=40°，求證：BQ+AQ=AB+BP；
（2）若∠ACB=α時，其他條件不變，直接寫出∠BAC=

180°-3α

時，仍有BQ+AQ=AB+BP．

Answer 1

分析：（1）根據三角形內角和定理求出∠ABC的度數，再根據角平分線的定義求出∠CBQ=40°，根據等角對等邊的性質可得BQ=CQ，然后過點P作PD∥BQ，求出PD=CD，再利用“角角邊”證明△ABP與△ADP全等，根據全等三角形對應邊相等可得AB=AD，BP=PD，從而得證；
（2）根據（1）的證明，只要是滿足∠ABC=2∠ACB即可是原有結論仍然成立．

解答：（1）證明：∵∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-60°-40°=80°，
∵BQ平分∠ABC，
∴∠CBQ=

1

2

∠ABC=

1

2

×80°=40°，
∴∠CBQ=∠ACB，
∴BQ=CQ，
∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC…①，
過點P作PD∥BQ交CQ于點D，
則∠CPD=∠CBQ=40°，
∴∠CPD=∠ACB=40°，
∴PD=CD，∠ADP=∠CPD+∠ACB=40°+40°=80°，
∵∠ABC=80°，
∴∠ABC=∠ADP，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
∵在△ABP與△ADP中，

∠ABC=∠ADP ∠BAP=∠CAP AP=AP

，
∴△ABP≌△ADP（AAS），
∴AB=AD，BP=PD，
∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC…②，
由①②可得，BQ+AQ=AB+BP；

（2）解：根據（1）的證明可知，只要滿足∠ABC=2∠ACB即可使原結論仍然成立，
∵∠ACB=α，
∴∠ABC=2α，
∴∠BAC=180°-3α．
故答案為：180°-3α．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的內角和定理，等角對等邊的性質，根據角度計算出∠ABC=2∠ACB從而求出相等的角是解題的關鍵．