Question

（10分）已知關于x的方程x2﹣（m＋2）x＋（2m﹣1）＝0．

（1）求證：方程恒有兩個不相等的實數根；

（2）若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長．

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）或

【解析】

試題分析：（1）一元二次方程的根與系數的關系是，當△＞0時，原方程有兩個不相等的實數根；當△＝0時，原方程有兩個相等的實數根；當△＜0時，原方程沒有實數根.證方程恒有兩個不相等的實數根，即要證明方程的△＞0；

（2）將x＝1代入到原方程中，即可得到m的值，再根據根與系數的關系即可得到方程的另一個根，以這兩個根為直角三角形的邊長的三角形有兩種情況，需要分類討論：①兩邊都是直角邊時，②大邊是斜邊，小邊是直角邊時.

試題解析：（1）證明：∵△＝（m＋2）2－4（2m－1）＝（m－2）2＋4，

∴在實數范圍內，m無論取何值，（m－2）2＋4＞0，即△＞0，

∴關于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）＝0恒有兩個不相等的實數根；

（2）【解析】
根據題意，得

12－1×（m＋2）＋（2m－1）＝0，

解得，m＝2，

則方程的另一根為：m＋2－1＝2＋1＝3；

①當該直角三角形的兩直角邊是1、3時，由勾股定理得斜邊的長度為：；

該直角三角形的周長為1＋3＋＝4＋；

②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為；則該直角三角形的周長為1＋3＋＝4＋．.

考點：解一元二次方程；一元二次的根的判別式；勾股定理；分類思想.