Question

4．如圖，已知直線l₁：y=-$\frac{3}{4}$x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B，將直線l₁向下平移4個單位長度后得到直線l₂，直線l₂與x軸交于點C，與y軸交于點D．
（1）求△AOB的面積；
（2）直線l₂的函數(shù)表達式是y=-$\frac{3}{4}$x+2．
（3）若點P是折線CAB上一點，且S_△PBD=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}，請求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）分別令y=-$\frac{3}{4}$x+6中x、y=0求出與之對應(yīng)的y、x的值，由此即可得出點B、A的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出△AOB的面積；
（2）根據(jù)直線l₁的函數(shù)表達式結(jié)合“上加下減”的平移規(guī)則即可得出直線l₂的函數(shù)表達式；
（3）根據(jù)直線l₂的函數(shù)表達式利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出點C、D的坐標(biāo)，進而即可求出S_{四邊形ABCD}的值，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m（0＜m≤8），根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合S_△PBD=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之可得出m的值，再根據(jù)m的值利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可得出點P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時，y=-$\frac{3}{4}$x+6=6，
∴點B的坐標(biāo)為（0，6）；
當(dāng)y=-$\frac{3}{4}$x+6=0時，x=8，
∴點A的坐標(biāo)為（8，0）．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×8×6=24．
（2）∵將直線l₁向下平移4個單位長度后得到直線l₂，
∴直線l₂的函數(shù)表達式是y=-$\frac{3}{4}$x+6-4=-$\frac{3}{4}$x+2．
故答案為：y=-$\frac{3}{4}$x+2．
（3）當(dāng)x=0時，y=-$\frac{3}{4}$x+2=2，
∴點D的坐標(biāo)為（0，2）；
當(dāng)y=-$\frac{3}{4}$x+2=0時，x=$\frac{8}{3}$，
∴點C的坐標(biāo)為（$\frac{8}{3}$，0）．
∴S_{四邊形ABCD}=S_△AOB-S_△COD=24-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{8}{3}$=$\frac{64}{3}$．
設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m（0＜m≤8），
∵S_△PBD=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}，
∴BD•m=（6-2）m=$\frac{64}{3}$，
解得：m=$\frac{16}{3}$，
∵$\frac{8}{3}$＜$\frac{16}{3}$＜8，且當(dāng)x=$\frac{16}{3}$時，y=-$\frac{3}{4}$x+6=-$\frac{3}{4}$×$\frac{16}{3}$+6=2，
∴點P的坐標(biāo)為（$\frac{16}{3}$，0）和（$\frac{16}{3}$，2）．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、三角形的面積以及解一元一次方程，熟練掌握圖形平移的規(guī)律“上加下減，左加右減”是解題的關(guān)鍵．