Question

【題目】如圖，在中，，是的中點，是的中點，過點作交的延長線于點.

（1）求證：；

（2）求證：四邊形是菱形；

（3）若，，求菱形的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析（3）24

【解析】

（1）利用平行線的性質及中點的定義，可利用AAS證得結論；
（2）由（1）可得AF=BD，結合條件可求得AF=DC，則可證明四邊形ADCF為平行四邊形，再利用直角三角形的性質可證得AD=CD，可證得四邊形ADCF為菱形；
（3）連接DF，可證得四邊形ABDF為平行四邊形，則可求得DF的長，利用菱形的面積公式可求得答案．

解：（1）證明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中點，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）證明：由（1）知，△AFE≌△DBE，則AF=DB．
∵AD為BC邊上的中線
∴DB=DC，
∴AF=CD，
∵AF∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，
∴AD=DC=BC，
∴四邊形ADCF是菱形；
（3）連接DF，
∵AF∥BD，AF=BD，，，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∴DF=AB=8，
∵四邊形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF=AC×DF=×6×8=24．