Question

如圖1，⊙O₁和⊙O₂內切于點P，⊙O₂的弦BE與⊙O₁相切于C，PB交⊙O₁于D，PC的延長線交⊙O₂于A，連接AB，CD，PE．
（1）求證：①∠BPA=∠EPA；②

AB

AC

=

BC

BD

；
（2）若⊙O₁的切線BE經過⊙O₂的圓心，⊙O₁、⊙O₂的半徑分別是r、R，其中R≥2r，如圖2，求證：PC•AC是定值．

Answer 1

證明：（1）①過點P作兩圓公切線MN．
則∠MPB=∠PCD=∠A．
∴CD∥AB．
∴∠ABC=∠BCD．
∵BC是⊙O₁的切線，
∴∠BCD=∠BPA．
∵∠ABC=∠EPA，
∴∠BPA=∠EPA．
②∵∠ABC=∠BPA，∠A=∠A，
∴△ABC∽△APB．
∴

AB

PA

=

BC

PB

，
∴

AB

BC

=

PA

PB

．
∵CD∥AB，
∴

PA

PB

=

AC

BD

=

AB

BC

．
即

AB

AC

=

BC

BD

．

（2）連接O₁C，PO₁．
則PO₂經過點O₁，且O₁C=r，O₁O₂=R-r．
∵BE與⊙O₁相切，
∴O₁C⊥BE．
在Rt△CO₁O₂中，
CO₂=

O1 O 22 -O1C2

=

R2-2R

r，
∴BC=BO₂+CO₂=R+

R2-2Rr

．
EC=EO₂-CO₂=R-

R2-2Rr

．
∵PC•AC=EC•BC=2Rr．
∴PC•AC是定值．