Question

15．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，AC=3，BC=4．
（1）求DE的長；
（2）求△ADB的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=CD，證明Rt△AED≌Rt△ACD可得AE=AC，再利用勾股定理計算出AB長，進而可得BE的長，然后設DE=x，則CD=x，BC=4-x，利用勾股定理列出方程，再解即可；
（2）計算出BD的長，利用三角形面積公式可得答案．

解答 解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD，
在Rt△AED和Rt△ADC中$\left\{\begin{array}{l}{ED=CD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE=AC=3，
∵AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴EB=5-3=2，
設DE=x，則CD=x，BC=4-x，
x²+2²=（4-x）²，
解得：x=1.5，
則DE=1.5；

（2）∵DE=1.5，
∴CD=1.5，
∴BD=2.5，
∴△ADB的面積：$\frac{1}{2}×$2.5×3=$\frac{15}{4}$．

點評 此題主要考查了勾股定理的應用，以及角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．