Question

如圖，拋物線y=ax2﹣8ax+12a（a＞0）與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，點D的坐標為（﹣6，0），且∠ACD=90°．

（1）請直接寫出A、B兩點的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PAC的周長最小？若存在，求出點P的坐標及周長的最小值；若不存在，說明理由；

（4）平行于y軸的直線m從點D出發沿x軸向右平行移動，到點A停止．設直線m與折線DCA的交點為G，與x軸的交點為H（t，0）．記△ACD在直線m左側部分的面積為s，求s關于t的函數關系式及自變量t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）拋物線的解析式為：y=ax2﹣8ax+12a（a＞0），

令y=0，即ax2﹣8ax+12a=0，

解得x1=2，x2=6，

∴A（2，0），B（6，0）．

 

（2）拋物線的解析式為：y=ax2﹣8ax+12a（a＞0），

令x=0，得y=12a，∴C（0，12a），OC=12a．

在Rt△COD中，由勾股定理得：CD2=OC2+OD2=（12a）2+62=144a2+36；

在Rt△COD中，由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=（12a）2+22=144a2+4；

在Rt△COD中，由勾股定理得：DC2+AC2=AD2；

即：（144a2+36）+（144a2+4）=82，

解得：a=或a=﹣（舍去），

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x+．

 

（3）存在．

對稱軸為直線：x=﹣=4．

由（2）知C（0，），則點C關于對稱軸x=4的對稱點為C′（8，），

連接AC′，與對稱軸交于點P，則點P為所求．此時△PAC周長最小，最小值為AC+AC′．

設直線AC′的解析式為y=kx+b，則有：

，解得，

∴y=x﹣．

當x=4時，y=，∴P（4，）．

過點C′作C′E⊥x軸于點E，則C′E=，AE=6，

在Rt△AC′E中，由勾股定理得：AC′==4；

在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC==4．

∴AC+AC′=4+4．

∴存在滿足條件的點P，點P坐標為（4，），△PAC周長的最小值為4+4．

 

（4）①當﹣6≤t≤0時，如答圖4﹣1所示．

∵直線m平行于y軸，

∴，即，解得：GH=（6+t）

∴S=S△DGH=DH•GH=（6+t）•（6+t）=t2+2t+6；

②當0＜t≤2時，如答圖4﹣2所示．

∵直線m平行于y軸，

∴，即，解得：GH=﹣t+2．

∴S=S△COD+S梯形OCGH=OD•OC+（GH+OC）•OH

=×6×2+（﹣t+2+2）•t

=﹣t2+2t+6．

∴S=．