Question

直線l的解析式為y=

3

4

x+8，與x軸、y軸分別交于A，B兩點，P是x軸上一點，以P為圓心的圓與直線l相切于B點．
（1）求點P的坐標及⊙P的半徑R；
（2）若⊙P以每秒

10

3

個單位沿x軸向左運動，同時⊙P的半徑以每秒

3

2

個單位變小，設⊙P的運動時間為t秒，且⊙P始終與直線l有交點，試求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據題意畫出圖形，利用切線的性質和勾股定理解答；
（2）根據變化過程設出未知量，列不等式計算．

解答：解：（1）如圖所示，設半徑為r，由于圓與直線l相切于B點，所以根據勾股定理，OP²=r²-8²，故OP=

r2-82

；根據射影定理，OB²=OA•OP，即8²=

r2-82

•

32

3

，解得r=10．OP=

102-82

=6．P點坐標為（6，0）．


（2）根據勾股定理，AB=

82+( 32 3 )2

=

1600

9

，
根據題意得：（

32

3

+6-

10

3

t）²-（10-

2

3

t）²≤

1600

9

，整理得t²-10t≤0，
解得0秒≤t≤10秒．

點評：此題是一道一次函數與圓相結合的動點問題，重在考查分析能力，綜合性較強，有一定的難度．