Question

3．如圖，已知A（-4，n），B（2，-4）是反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象和一次函數y=ax+b的圖象的兩個交點．
（1）求反比例函數和一次函數的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）根據圖象直接寫出不等式ax+b-$\frac{k}{x}$＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）先把B（2，-4）代入y=$\frac{k}{x}$得到k=-8，再把A（-4，n）代入y=-$\frac{8}{x}$可求出n=2，然后利用待定系數法確定一次函數的解析式；
（2）先求出直線y=-x-2與x軸交點C的坐標，然后利用S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC進行計算；
（3）觀察函數圖象得到當x＜-4或0＜x＜2時，一次函數的圖象在反比例函數圖象上方，即使ax+b-$\frac{k}{x}$＜0．

解答 解：（1）把B（2，-4）代入y=$\frac{k}{x}$的得m=2×（-4）=-8，
所以反比例函數解析式為y=-$\frac{8}{x}$，
把A（-4，n）代入y=-$\frac{8}{x}$得-4n=-8，解得n=2，
把A（-4，2）和B（2，-4）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=2}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
所以一次函數的解析式為y=-x-2；

（2）直線y=-x-2與x軸交于點C（-2，0），
S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×4=6；

（3）不等式kx+b-$\frac{k}{x}$＜0的解集為-4＜x＜0或x＞2；
故答案為：-4＜x＜0或x＞2．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：反比例函數與一次函數的交點坐標滿足兩函數的解析式．也考查了觀察函數圖象的能力以及用待定系數法確定一次函數的解析式．