Question

19．如圖，已知第一象限內的點A在反比例函數y=$\frac{\sqrt{6}}{x}$上，第二象限的點B在反比例函數y=$\frac{k}{x}$上，且OA⊥OB，∠A=30°，則k的值為-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 過A作AN⊥x軸于N，過B作BM⊥x軸于M．設A（x，$\frac{\sqrt{6}}{x}$）（x＞0），由點A在反比例函數y=$\frac{\sqrt{6}}{x}$上可得ON•AN=$\sqrt{6}$，由tan∠A=$\frac{BO}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，再證明△MBO∽△NOA，可得$\frac{BM}{NO}$=$\frac{MO}{AN}$=$\frac{BO}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，進而可得BM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ON，OM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AN，然后再利用反比例函數圖象上點的坐標特點可得k=-OM•BM=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$ON×$\frac{\sqrt{3}}{3}$AN=-$\frac{1}{3}$×$\sqrt{6}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

解答 解：過A作AN⊥x軸于N，過B作BM⊥x軸于M．
∵第一象限內的點A在反比例函數y的圖象上，
∴設A（x，$\frac{\sqrt{6}}{x}$）（x＞0），ON•AN=$\sqrt{6}$．
∵∠A=30°，
∴tan∠A=$\frac{BO}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵OA⊥OB，
∴∠BMO=∠ANO=∠AOB=90°，
∴∠MBO+∠BOM=90°，∠MOB+∠AON=90°，
∴∠MBO=∠AON，
∴△MBO∽△NOA，$\frac{BM}{NO}$=$\frac{MO}{AN}$=$\frac{BO}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ON，OM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AN．
又∵第二象限的點B在反比例函數y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=-OM•BM=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$ON×$\frac{\sqrt{3}}{3}$AN=-$\frac{1}{3}$×$\sqrt{6}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 此題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特點，關鍵是掌握反比例函數圖象上的點，橫縱坐標之積等于k．