Question

如圖，線段AD=5，⊙A的半徑為1，C為⊙A上的一動點，CD的垂直平分線分別交CD、AD于點E、B．
（1）請直接寫出線段CD長度的取值范圍；
（2）當線段CD長為多少時，AC∥EB？
（3）△ABC能否是直角三角形？若能，請求AB的長，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）CD最長時，CD=AD+⊙A的半徑；CD最短時，CD=AD+⊙A的半徑；
（2）由平行線的性質得到CD是⊙A的切線時，AC∥EB；由勾股定理來求CD的長度；
（3）分別從若AB是斜邊與BC是斜邊去分析，利用勾股定理的知識，借助于方程即可求得AB的值．

解答：解：（1）當點C是DA的延長線與⊙A的交點時，CD最長，其長度為5+1=6；
當點C是AD與⊙A的交點時，CD最短，其長度為5-1=4；
所以CD的取值范圍是：4≤CD≤6；

（2）如圖，∵BE是CD的垂直平分線，
∴BE⊥CD．
又∵AC∥EB，
∴AC⊥CD．
∴在直角△ACD中，CD=

AD2-AC2

=

52-12

=2

6

，即當CD的長度為2

6

時，AC∥EB；

（3）∵BE是CD的垂直平分線，
∴BC=BD．
∵△ABC為直角三角形，
若AB是斜邊，則AB²=AC²+BC²，
即AB²=（5-AB）²+1，
∴x=2.6；
若BC是斜邊，則BC²=AB²+AC²，
即（5-AB）²=AB²+1，
∴AB=2.4．
故答案為：2.6或2.4．

點評：此題考查了圓的綜合題，其中涉及到了線段垂直平分線的性質，勾股定理等知識．此題綜合性很強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合與分類討論思想的應用．