Question

在ABC中，點F在線段AD上，BD=DE=EC，∠EDF=∠DEF=60°．
（1）求證：△BEF≌△CDF；
（2）求證：CF⊥AD；
（3）若∠ABC=45°，求∠ACB的度數．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）首先證明BE=CD，然后運用SAS公理證明△BEF≌△CDF，即可解決問題．
（2）證明EF=

1

2

CD，運用若一個三角形某邊上的中線等于該邊的一半，那么該三角形為直角三角形，即可解決問題．
（3）證明AF=CF，得到∠FAC=∠FCA=45°，即可解決問題．

解答： 解：（1）∵∠EDF=∠DEF=60°，
∴△DEF為等邊三角形，
∴EF=DF；
∵BD=DE=EC，
∴BE=CD；
在△BEF與△CDF中，

BE=DC ∠BEF=∠CDF EF=DF

，
∴△BEF≌△CDF（SAS）．
（2）∵△DEF為等邊三角形，
∴EF=DE=EC，
即EF=

1

2

CD，
∴CF⊥AD．
（3）∵△BEF≌△CDF，
∴∠BFE=∠DFC=90°，
∴∠DBF=∠BFD=90°-60°=30°；
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=45°-30°=15°，
∴∠BAF=30°-15°=15°，
∴∠ABF=∠BAF=15°，
∴AF=BF；
∵△BEF≌△CDF，
∴FC=BF，AF=CF；
∵CF⊥AD，
∴∠FAC=∠FCA=45°，而∠FCD=30°，
∴∠ACB=75°．

點評：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質、等腰三角形的判定等幾何知識點及其應用問題；解題的關鍵是深入觀察圖形，準確找出圖形中隱含的數量關系，靈活運用全等三角形的判定及其性質、等腰三角形的判定等幾何知識點來分析、判斷、解答．