Question

9．如圖，一次函數y₁=ax+1與反比例函數y₂=$\frac{k}{x}$的圖象交于點A（2，m）和B（-4，-1），與y軸交于點C，與x軸交于點D．
（1）求a，k的值；
（2）過點A作AE⊥x軸于點E，已知P為反比例函數圖象上位于第一象限內的一點，若直線DP平分△ADE的面積，請求出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）把B點坐標分別代入一次函數和反比例函數的解析式可求得a和k的值；
（2）由條件可知直線PD過線段AE的中點，可求得E點坐標，利用待定系數法可求得直線DE的解析式，再聯立反比例函數和直線DE的解析式可求得P點坐標．

解答 解：
（1）∵一次函數y₁=ax+1過B（-4，-1），
∴-4a+1=-1，解得a=$\frac{1}{2}$，
∵反比例函數y₂=$\frac{k}{x}$的圖象過B（-4，-1），
∴k=-4×（-1）=4；
（2）由（1）可知反比例函數解析式為y=$\frac{4}{x}$，一次函數解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1，
∵反比例函數y=$\frac{4}{x}$的圖象過A（2，m），
∴2m=4，解得m=2，
∴A（2，2），
∴AE=2，
∴線段AE的中點坐標為（2，1）
在y=$\frac{1}{2}$x+1中令y=0可得x=-2，
∴D（-2，0），
∵線DP平分△ADE的面積，
∴直線DP過點（2，1），
設直線DP解析式為y=mx+n，
則有$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=0}\\{2m+n=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{4}}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線DP解析式為y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$，
聯立直線DP和反比例函數解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{17}}\\{y=\frac{\sqrt{17}+1}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\sqrt{17}}\\{y=\frac{1-\sqrt{17}}{4}}\end{array}\right.$
∵P點在第一象限，
∴P點坐標為（-1+$\sqrt{17}$，$\frac{\sqrt{17}+1}{4}$）．

點評 本題主要考查函數圖象的交點，掌握函數圖象的交點坐標滿足每一個函數解析式是解題的關鍵，注意求函數圖象交點坐標的方法．