Question

9．如圖，兩條直線AB，CD相交于點O，且∠AOC=∠AOD，射線OM從OB開始繞O點逆時針方向旋轉，速度為15°/s，射線ON同時從OD開始繞O點順時針方向旋轉，速度為12°/s，運動時間為t秒（0＜t＜12，本題出現的角均小于平角）
（1）圖中一定有4個直角；當t=2時，∠MON的度數為144°，∠BON的度數為114°；
（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，當∠EOF為直角時，請求出t的值；
（3）當射線OM在∠COB內部，且$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$是定值時，求t的取值范圍，并求出這個定值．

Answer 1

分析 （1）根據兩條直線AB，CD相交于點O，∠AOC=∠AOD，可得圖中一定有4個直角；當t=2時，可求得∠MON的度數和∠BON的度數；
（2）根據OE平分∠COM，OF平分∠NOD，求得∠COE=$\frac{1}{2}$∠COM=$\frac{1}{2}$（15t-90°），∠DOF=$\frac{1}{2}$∠DON=$\frac{1}{2}$×12t，再根據當∠EOF為直角時，∠COE+∠DOF=90°，列出方程$\frac{1}{2}$（15t-90°）=$\frac{1}{2}$×12t，解得t的值為10s；
（3）先判斷當射線OM在∠COB內部，∠MON為平角，∠MOB為直角時t的值，再以此分兩種情況討論：當0＜t＜$\frac{10}{3}$時，當$\frac{10}{3}$＜t＜6時，分別計算$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$的值，根據結果作出判斷即可．

解答 解：（1）如圖所示，∵兩條直線AB，CD相交于點O，∠AOC=∠AOD，

∴∠AOC=∠AOD=90°，
∴∠BOC=∠BOD=90°，
∴圖中一定有4個直角；
當t=2時，∠BOM=30°，∠NON=24°，
∴∠MON=30°+90°+24°=144°，
∠BON=90°+24°=114°；
故答案為：4；144°，114°；

（2）如圖所示，∠BOM=15t，∠NON=12t，∠COM=15t-90°，

∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠COM=$\frac{1}{2}$（15t-90°），∠DOF=$\frac{1}{2}$∠DON=$\frac{1}{2}$×12t，
∵當∠EOF為直角時，∠COE+∠DOF=90°，
∴$\frac{1}{2}$（15t-90°）=$\frac{1}{2}$×12t，
解得t=10，
∴當∠EOF為直角時，t的值為10s；

（3）當∠MON=180°時，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，
∴15t+90°+12t=180°，
解得t=$\frac{10}{3}$，
當∠BOM=90°時，15t=90°，
解得t=6，
①如圖所示，當0＜t＜$\frac{10}{3}$時，

∠COM=90°-15t，∠BON=90°+12t，
∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t+90°+12t，
∴$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$=$\frac{7（90°-15t）+2（90°+12t）}{15t+90°+12t}$=$\frac{810°-81t}{27t+90°}$，（不是定值）
②如圖所示，當$\frac{10}{3}$＜t＜6時，

∠COM=90°-15t，∠BON=90°+12t，
∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（15t+90°+12t）=270°-27t，
∴$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$=$\frac{7（90°-15t）+2（90°+12t）}{270°-27t}$=$\frac{810°-81t}{270°-27t}$=3，（是定值）
綜上所述，當射線OM在∠COB內部，且$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$是定值時，t的取值范圍為$\frac{10}{3}$＜t＜6，這個定值是3．

點評 本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了角的和差關系的計算，解決問題的關鍵是將相關的角用含t的代數式表示出來，并根據題意列出方程進行求解，以及進行分類討論，解題時注意方程思想和分類思想的靈活運用．