Question

4．如圖，△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB=30°，將△ABC繞點A順時針旋轉得到△AB₁C₁，當點C₁、B₁、C三點共線時，旋轉角為α，連接BB₁，交AC于點D．下列結論：①△AC₁C為等腰三角形；②△AB₁D∽△BCD；③α=75°；④CA=CB₁，其中正確的是（　　）

• A． ①③④
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 將△ABC繞點A順時針旋轉得到△AB₁C₁，得到△ABC≌△AB₁C₁，根據全等三角形的性質得到AC₁=AC，于是得到△AC₁C為等腰三角形；故①正確；根據等腰三角形的性質得到∠C₁=∠ACC₁=30°，由三角形的內角和得到∠C₁AC=120°，得到∠B₁AB=120°，根據等腰三角形的性質得到∠AB₁B=30°=∠ACB，于是得到△AB₁D∽△BCD；故②正確；由旋轉角α=120°，故③錯誤；根據旋轉的性質得到∠C₁AB₁=∠BAC=45°，推出∠B₁AC=∠AB₁C，于是得到CA=CB₁；故④正確．

解答 解：∵將△ABC繞點A順時針旋轉得到△AB₁C₁，
∴△ABC≌△AB₁C₁，
∴AC₁=AC，
∴△AC₁C為等腰三角形；故①正確；
∴AC₁=AC，
∴∠C₁=∠ACC₁=30°，
∴∠C₁AC=120°，
∴∠B₁AB=120°，
∵AB₁=AB，
∴∠AB₁B=30°=∠ACB，
∵∠ADB₁=∠BDC，
∴△AB₁D∽△BCD；故②正確；
∵旋轉角為α，
∴α=120°，故③錯誤；
∵∠C₁AB₁=∠BAC=45°，
∴∠B₁AC=75°，
∵∠AB₁C₁=∠BAC=105°，
∴∠AB₁C=75°，
∴∠B₁AC=∠AB₁C，
∴CA=CB₁；故④正確．
故選B．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，旋轉的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．